Algorithmische Mathematik (Springer-Lehrbuch) (German by Stefan Hougardy, Jens Vygen

By Stefan Hougardy, Jens Vygen

Dieses Lehrbuch vermittelt grundlegende mathematische Fähigkeiten im Hinblick auf Entwurf und examine von Algorithmen, sowie deren Implementierung. Neben einigen fundamentalen Algorithmen (z.B. Sieb des Eratosthenes, Euklidischer Algorithmus, Sortieralgorithmen, Algorithmen auf Graphen, Gauß-Elimination) werden auch elementare Datenstrukturen, graphentheoretische Grundlagen und numerische Fragen behandelt. Zudem werden grundlegende Programmierkenntnisse vermittelt und es wird gezeigt, wie guy Algorithmen in C++ implementiert.

Das Buch eignet sich besonders für den Studienbeginn und stellt den klassischen Vorlesungen über research und Lineare Algebra die Algorithmische Mathematik als dritte Grundvorlesung zur Seite. Diese Vorlesung haben die Autoren in den letzten Jahren mehrfach an der Universität Bonn gehalten.

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Es gibt deshalb keinen Grund, sich blind darauf zu verlassen, dass zum Beispiel ein int wirklich 4 Bytes hat. Wir haben gesehen, dass man mit den Standarddatentypen nur ganze Zahlen innerhalb eines bestimmten Intervalls speichern kann. Das ist oft problematisch; zum Beispiel können in einer Collatz-Folge auch größere Zahlen als 264 auftreten, selbst wenn die Eingabe kleiner ist (vgl. 25). Wenn man das nicht abfängt, wird meist einfach modulo 2l gerechnet, wobei l die Anzahl der Bits des Datentyps ist.

Somit haben auch x 0 C x 00 und y 0 C y 00 jeweils höchstens d 2l e C 1 Stellen. Dies ist weniger als l für alle l 4, weshalb die Rekursion terminiert. l/ Schritte; hier nutzt man aus, dass B eine Zweierpotenz ist und x und y (ebenso wie alle Zwischenergebnisse) in Binärdarstellung angegeben sind. 1. 2) kann man wie folgt lösen. 2). 3) bewiesen ist. 2m C 2/ < 4c 3m < 12c 3log2 l D 12c l log2 3 . 2 2m 1/ ; 2/e < 1 C log2 l. l 2 /. In der Praxis multipliziert man auch größere Zahlen direkt (mindestens bis zu 32 oder 64 Binärstellen: so große Zahlen werden von heutigen Prozessoren in wenigen Taktzyklen multipliziert) und wählt erst bei noch größeren Zahlen den rekursiven Ansatz von Karatsuba.

Mittels *iter erhält man das aktuelle Element, auf das der Iterator iter verweist. Häufig kommt es vor, dass man über alle Elemente eines Containers laufen möchte. Zu diesem Zweck gibt es in C++ eine spezielle Version der forAnweisung, die bereichsbasierte for-Anweisung genannt wird. cpp benutzt. Die dort definierte Variable i durchläuft alle Elemente des Vektors _v. end(); ++it) { s = digits[*it] + s; } Zu beachten ist, dass in einer bereichsbasierten for-Schleife die Elemente des Containers durchlaufen werden, und daher nicht wie bei Iteratoren der Dereferenzierungsoperator * benutzt wird.

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